関数 $S(t)$ が $S(t) = \int_0^1 |x^2 - t^2| dx$ で定義されている。$0 \le t \le 1$ における $S(t)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $S(t)$ が $S(t) = \int_0^1 |x^2 - t^2| dx$ で定義されている。$0 \le t \le 1$ における $S(t)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - t^2|$ の積分を、$x^2 - t^2$ の符号によって場合分けして計算する。$0 \le t \le 1$ であるから、$x$ が $0 \le x \le t$ のとき $x^2 - t^2 \le 0$ であり、$t \le x \le 1$ のとき $x^2 - t^2 \ge 0$ である。したがって、積分は次のように分割できる。

$S(t) = \int_0^1 |x^2 - t^2| dx = \int_0^t (t^2 - x^2) dx + \int_t^1 (x^2 - t^2) dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_0^t (t^2 - x^2) dx = [t^2 x - \frac{x^3}{3}]_0^t = t^3 - \frac{t^3}{3} = \frac{2}{3}t^3$

$\int_t^1 (x^2 - t^2) dx = [\frac{x^3}{3} - t^2 x]_t^1 = (\frac{1}{3} - t^2) - (\frac{t^3}{3} - t^3) = \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3$

したがって、

$S(t) = \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3 = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}$

次に、$S(t)$ の最大値と最小値を求めるために、$S'(t)$ を計算する。

$S'(t) = 4t^2 - 2t = 2t(2t - 1)$

$S'(t) = 0$ となるのは、$t = 0$ または $t = \frac{1}{2}$ のときである。

$S(0) = \frac{1}{3}$

$S(\frac{1}{2}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$S(1) = \frac{4}{3} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$

したがって、$S(t)$ は $t = 1$ で最大値 $\frac{2}{3}$ をとり、$t = \frac{1}{2}$ で最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{2}{3}$ ($t=1$のとき)

最小値：$\frac{1}{4}$ ($t=\frac{1}{2}$のとき)