1. $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$であることを示し、$\cos x = t$とおいて$\int \frac{dx}{\sin x}$を求めよ。

1. 問題の内容

1. $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$であることを示し、$\cos x = t$とおいて$\int \frac{dx}{\sin x}$を求めよ。

2. $\int \frac{dx}{\cos x}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$の証明:

三角関数の恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$であるから、$\frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$となる。

$\cos x = t$とおくと、$-\sin x dx = dt$より、$dx = -\frac{dt}{\sin x}$となる。

したがって、

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{1}{\sin x} \cdot \left( -\frac{dt}{\sin x} \right) = \int -\frac{dt}{\sin^2 x} = \int -\frac{dt}{1 - \cos^2 x} = \int -\frac{dt}{1 - t^2} = \int \frac{dt}{t^2 - 1}$

部分分数分解を行う。

$\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1}$

$1 = A(t + 1) + B(t - 1)$

$t = 1$のとき、$1 = 2A$より$A = \frac{1}{2}$

$t = -1$のとき、$1 = -2B$より$B = -\frac{1}{2}$

$\int \frac{dt}{t^2 - 1} = \int \left( \frac{1/2}{t - 1} - \frac{1/2}{t + 1} \right) dt = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} \right) dt$

$= \frac{1}{2} (\ln |t - 1| - \ln |t + 1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\cos x - 1}{\cos x + 1} \right| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{-2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| - \tan^2 (x/2) \right| + C$

$= \ln |\tan (x/2)| + C$

ここで、$C$は積分定数。

(2) $\int \frac{dx}{\cos x}$

$\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$

$\sin x = u$とおくと、$\cos x dx = du$

$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int \frac{du}{(1 - u)(1 + u)} = \int \left( \frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u} \right) du$

$= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right) du = \frac{1}{2} (-\ln |1 - u| + \ln |1 + u|) + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} \right| + C = \ln \left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| + C$

$= \ln \left| \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} \right| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C$

ここで、$C$は積分定数。

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{dx}{\sin x} = \ln |\tan (x/2)| + C$

(2) $\int \frac{dx}{\cos x} = \ln |\sec x + \tan x| + C$