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与えられた重積分 $\int_0^1 \int_y^1 \frac{\sin x}{x} dx dy$ を計算します。

解析学重積分積分順序の変更積分計算
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた重積分 ∫01∫y1sin⁡xxdxdy\int_0^1 \int_y^1 \frac{\sin x}{x} dx dy を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分順序を変更します。現在の積分範囲は 0≤y≤10 \leq y \leq 1 および y≤x≤1y \leq x \leq 1 です。これを xx と yy について書き直すと、0≤x≤10 \leq x \leq 1 および 0≤y≤x0 \leq y \leq x となります。したがって、積分は次のようになります。
∫01∫0xsin⁡xxdydx\int_0^1 \int_0^x \frac{\sin x}{x} dy dx
まず、yy について積分します。sin⁡xx\frac{\sin x}{x} は yy に依存しないので、
∫0xsin⁡xxdy=sin⁡xx∫0xdy=sin⁡xx[y]0x=sin⁡xx(x−0)=sin⁡x\int_0^x \frac{\sin x}{x} dy = \frac{\sin x}{x} \int_0^x dy = \frac{\sin x}{x} [y]_0^x = \frac{\sin x}{x} (x - 0) = \sin x
したがって、積分は次のようになります。
∫01sin⁡xdx\int_0^1 \sin x dx
次に、xx について積分します。sin⁡x\sin x の積分は −cos⁡x-\cos x なので、
∫01sin⁡xdx=[−cos⁡x]01=−cos⁡(1)−(−cos⁡(0))=−cos⁡(1)+1=1−cos⁡(1)\int_0^1 \sin x dx = [-\cos x]_0^1 = -\cos(1) - (-\cos(0)) = -\cos(1) + 1 = 1 - \cos(1)

3. 最終的な答え

1−cos⁡(1)1 - \cos(1)

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