以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ (3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$

## 解答

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$

- $-1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1$であるため、

$-|x| \leq x \cos(\frac{1}{x}) \leq |x|$が成り立ちます。

- $x \to 0$のとき、$-|x| \to 0$および$|x| \to 0$であるため、

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) = 0$

となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

- $-1 \leq \sin x \leq 1$であるため、

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$が成り立ちます。

- $x \to \infty$のとき、$-\frac{1}{x} \to 0$および$\frac{1}{x} \to 0$であるため、

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

となります。

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$

- $-1 \leq \cos x \leq 1$であるため、

$\frac{-1}{x} \geq \frac{\cos x}{x} \geq \frac{1}{x}$が成り立ちます。（$x$が負であるため不等号の向きが反転）

- $x \to -\infty$のとき、$\frac{-1}{x} \to 0$および$\frac{1}{x} \to 0$であるため、

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) 0