まず、(2k+1)(2k+3)1 を部分分数分解します。 (2k+1)(2k+3)1=2k+1A+2k+3B 両辺に (2k+1)(2k+3) をかけると、 1=A(2k+3)+B(2k+1) k=−21 を代入すると、1=A(2(−21)+3)+B(0) より、1=2A, A=21 k=−23 を代入すると、1=A(0)+B(2(−23)+1) より、1=−2B, B=−21 したがって、
(2k+1)(2k+3)1=21(2k+11−2k+31) Sn=∑k=1n(2k+1)(2k+3)1=21∑k=1n(2k+11−2k+31) この和は telescoping sum(望遠鏡和)なので、次のように計算できます。
Sn=21[(31−51)+(51−71)+(71−91)+⋯+(2n+11−2n+31)] Sn=21(31−2n+31) Sn=21(3(2n+3)2n+3−3)=21(3(2n+3)2n)=3(2n+3)n