正の整数 $n$ に対して、和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を求める問題です。

解析学級数部分分数分解telescoping sumシグマ
2025/6/30

1. 問題の内容

正の整数 nn に対して、和 Sn=k=1n1(2k+1)(2k+3)S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1(2k+1)(2k+3)\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} を部分分数分解します。
1(2k+1)(2k+3)=A2k+1+B2k+3\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}
両辺に (2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3) をかけると、
1=A(2k+3)+B(2k+1)1 = A(2k+3) + B(2k+1)
k=12k = -\frac{1}{2} を代入すると、1=A(2(12)+3)+B(0)1 = A(2(-\frac{1}{2})+3) + B(0) より、1=2A1 = 2A, A=12A=\frac{1}{2}
k=32k = -\frac{3}{2} を代入すると、1=A(0)+B(2(32)+1)1 = A(0) + B(2(-\frac{3}{2})+1) より、1=2B1 = -2B, B=12B=-\frac{1}{2}
したがって、
1(2k+1)(2k+3)=12(12k+112k+3)\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)
Sn=k=1n1(2k+1)(2k+3)=12k=1n(12k+112k+3)S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)
この和は telescoping sum(望遠鏡和)なので、次のように計算できます。
Sn=12[(1315)+(1517)+(1719)++(12n+112n+3)]S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right) \right]
Sn=12(1312n+3)S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right)
Sn=12(2n+333(2n+3))=12(2n3(2n+3))=n3(2n+3)S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+3-3}{3(2n+3)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{3(2n+3)} \right) = \frac{n}{3(2n+3)}

3. 最終的な答え

Sn=n6n+9S_n = \frac{n}{6n+9}

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