$\int \tan^5 x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \tan^5 x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\tan^5 x$ を $\tan^3 x \tan^2 x$ と変形し、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用して、被積分関数を変形する。

\begin{align*} \int \tan^5 x \, dx &= \int \tan^3 x \tan^2 x \, dx \\ &= \int \tan^3 x (\sec^2 x - 1) \, dx \\ &= \int \tan^3 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^3 x \, dx \end{align*}

ここで、$\int \tan^3 x \sec^2 x \, dx$ について、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x \, dx$ より、

\[ \int \tan^3 x \sec^2 x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C_1 = \frac{\tan^4 x}{4} + C_1 \]

また、$\int \tan^3 x \, dx$ について、

\begin{align*} \int \tan^3 x \, dx &= \int \tan x \tan^2 x \, dx \\ &= \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \\ &= \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \end{align*}

$\int \tan x \sec^2 x \, dx$ について、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x \, dx$ より、

\[ \int \tan x \sec^2 x \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C_2 = \frac{\tan^2 x}{2} + C_2 \]

また、$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$ について、$v = \cos x$ とおくと、$dv = - \sin x \, dx$ より、

\[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-dv}{v} = - \ln |v| + C_3 = - \ln |\cos x| + C_3 = \ln |\sec x| + C_3 \]

よって、

\[ \int \tan^3 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln |\sec x| + C_4 \]

したがって、

\begin{align*} \int \tan^5 x \, dx &= \frac{\tan^4 x}{4} - \left( \frac{\tan^2 x}{2} - \ln |\sec x| \right) + C \\ &= \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C \end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C$