$\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母と分子に $1 - \sin x$ をかけます。

$$\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \int \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} dx = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx$$

三角関数の恒等式 $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ を用いると、

$$\int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx$$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であり、$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$ であるので、

$$\int (\sec^2 x - \tan x \sec x) dx = \int \sec^2 x dx - \int \tan x \sec x dx$$

$\int \sec^2 x dx = \tan x$ および $\int \tan x \sec x dx = \sec x$ であるから、

$$\int \sec^2 x dx - \int \tan x \sec x dx = \tan x - \sec x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\tan x - \sec x + C$