次の関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。 (1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$ (2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$ (3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

1. 問題の内容

次の関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

2. 解き方の手順

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続で、区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、というものです。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$の場合

$f(3) = 3^3 = 27$, $f(1) = 1^3 = 1$ なので、

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{3 - 1} = \frac{26}{2} = 13$

$f'(x) = 3x^2$

よって、

$3c^2 = 13$

$c^2 = \frac{13}{3}$

$c = \pm \sqrt{\frac{13}{3}}$

$1 < c < 3$ なので、 $c = \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} \approx 2.08$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$の場合

$f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ なので、

$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{4 - 2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$

$f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

よって、

$-\frac{2}{c^2} = -\frac{1}{4}$

$c^2 = 8$

$c = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

$2 < c < 4$ なので、$c = 2\sqrt{2} \approx 2.83$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$の場合

$f(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$, $f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6$ なので、

$\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{6 - (-6)}{2 - (-2)} = \frac{12}{4} = 3$

$f'(x) = 3x^2 - 1$

よって、

$3c^2 - 1 = 3$

$3c^2 = 4$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$-2 < c < 2$ なので、$c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1.15$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $c = 2\sqrt{2}$

(3) $c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$