次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$ (2) $y = \sqrt{1 + \sin^2 x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin^2 x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2 x \cos^2 x$ の微分

まず、積の微分法を使います。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

$u = \sin^2 x$、 $v = \cos^2 x$ とおくと、

$u' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$

$v' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x (-\sin x) = -2\sin x \cos x$

よって、

$y' = (2\sin x \cos x)(\cos^2 x) + (\sin^2 x)(-2\sin x \cos x)$

$y' = 2\sin x \cos^3 x - 2\sin^3 x \cos x$

$y' = 2\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x)$

ここで、三角関数の倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ と $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を使うと、

$y' = \sin 2x \cos 2x$

さらに、$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ であるから、

$y' = \frac{1}{2}\sin 4x$

別解として、$y = \sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2}\sin 2x)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2x$ と変形することもできます。

このとき、$y' = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin 2x \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2}\sin 2x \cdot 2\cos 2x = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin^2 x}$ の微分

合成関数の微分法を使います。

$y = \sqrt{u}$ 、 $u = 1 + \sin^2 x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}}$

$\frac{du}{dx} = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

したがって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}} \cdot \sin 2x = \frac{\sin 2x}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2}\sin 4x$

(2) $y' = \frac{\sin 2x}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}}$