与えられた二重積分 $\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} y^2 \sin(xy) \, dy \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた二重積分

$\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} y^2 \sin(xy) \, dy \, dx$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$に関する内側の積分を計算します。しかし、$y^2\sin(xy)$の積分は容易には求まらないため、積分の順序を変更します。

積分領域は、$0 \le x \le 2$かつ$x \le y \le 2$で定義されます。これは、$0 \le y \le 2$かつ$0 \le x \le y$と同等です。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} y^2 \sin(xy) \, dx \, dy$

次に、$x$に関する内側の積分を計算します。

$\int_{0}^{y} y^2 \sin(xy) \, dx = y^2 \int_{0}^{y} \sin(xy) \, dx$

$= y^2 \left[ -\frac{\cos(xy)}{y} \right]_{0}^{y}$

$= y^2 \left( -\frac{\cos(y^2)}{y} + \frac{\cos(0)}{y} \right)$

$= y^2 \left( -\frac{\cos(y^2)}{y} + \frac{1}{y} \right)$

$= y(1 - \cos(y^2))$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} y(1 - \cos(y^2)) \, dy = \int_{0}^{2} y \, dy - \int_{0}^{2} y \cos(y^2) \, dy$

ここで、$\int_{0}^{2} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$

そして、$\int_{0}^{2} y \cos(y^2) \, dy$を計算するために、$u = y^2$と置くと、$du = 2y \, dy$となり、$y \, dy = \frac{1}{2} du$となります。

積分範囲は、$y=0$のとき$u=0$、$y=2$のとき$u=4$となるので、

$\int_{0}^{2} y \cos(y^2) \, dy = \int_{0}^{4} \cos(u) \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \left[ \sin(u) \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} (\sin(4) - \sin(0)) = \frac{1}{2} \sin(4)$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} y(1 - \cos(y^2)) \, dy = 2 - \frac{1}{2} \sin(4)$

3. 最終的な答え

$2 - \frac{1}{2} \sin(4)$