次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -\infty} \sin{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to -\infty} \cos{\frac{1}{x}}$ (3) $\lim_{x \to \pi} \tan{x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -\infty} \sin{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to -\infty} \cos{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x \to \pi} \tan{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -\infty} \sin{\frac{1}{x}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ です。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \sin{\frac{1}{x}} = \sin{0} = 0$

(2) $\lim_{x \to -\infty} \cos{\frac{1}{x}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ です。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \cos{\frac{1}{x}} = \cos{0} = 1$

(3) $\lim_{x \to \pi} \tan{x}$

$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ であることを利用します。$x \to \pi$ のとき、$\sin{x} \to 0$ であり、$\cos{x} \to -1$ です。

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \tan{x} = \frac{\lim_{x \to \pi} \sin{x}}{\lim_{x \to \pi} \cos{x}} = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -\infty} \sin{\frac{1}{x}} = 0$

(2) $\lim_{x \to -\infty} \cos{\frac{1}{x}} = 1$

(3) $\lim_{x \to \pi} \tan{x} = 0$