曲線 $y = x\log x$ について、以下の条件を満たす接線の方程式と接点の座標を求める問題です。 (1) 傾きが1である (2) 点(0,-2)を通る

1. 問題の内容

曲線 $y = x\log x$ について、以下の条件を満たす接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

(1) 傾きが1である

(2) 点(0,-2)を通る

2. 解き方の手順

(1) 傾きが1である場合：

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = x\log x$ の微分は、積の微分法より

$y' = (x)'\log x + x(\log x)' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

接線の傾きが1であるから、$y' = 1$ を満たす $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 1$

$\log x = 0$

$x = e^0 = 1$

$x=1$ のとき、$y = 1 \cdot \log 1 = 0$

よって、接点の座標は $(1,0)$ です。

接線の方程式は、傾きが1で点 $(1,0)$ を通る直線の方程式なので、

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

(2) 点(0,-2)を通る場合：

接点の座標を $(t, t\log t)$ とします。

接線の方程式は、$y' = \log t + 1$ であるから

$y - t\log t = (\log t + 1)(x - t)$

この接線が点 $(0, -2)$ を通るので、これを代入すると

$-2 - t\log t = (\log t + 1)(0 - t)$

$-2 - t\log t = -t\log t - t$

$-2 = -t$

$t = 2$

よって、接点の座標は $(2, 2\log 2)$ です。

傾きは $y' = \log 2 + 1$ なので、接線の方程式は

$y - 2\log 2 = (\log 2 + 1)(x - 2)$

$y = (\log 2 + 1)x - 2\log 2 - 2 + 2\log 2$

$y = (\log 2 + 1)x - 2$

3. 最終的な答え

(1) 傾きが1である場合：

接線の方程式: $y = x - 1$

接点の座標: $(1, 0)$

(2) 点(0,-2)を通る場合：

接線の方程式: $y = (\log 2 + 1)x - 2$

接点の座標: $(2, 2\log 2)$