関数 $y = \frac{2x-3}{x^2+4}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x-3}{x^2+4}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数の極値を求めるには、まず導関数を計算し、それが0になる点を求めます。次に、その点の前後で導関数の符号が変化するかどうかを調べ、極大値または極小値を判定します。

(1) 導関数を求める。

$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x-3}{x^2+4} \right)$

商の微分法を用いる。

$y' = \frac{(2)(x^2+4) - (2x-3)(2x)}{(x^2+4)^2}$

$y' = \frac{2x^2+8 - (4x^2-6x)}{(x^2+4)^2}$

$y' = \frac{2x^2+8 - 4x^2+6x}{(x^2+4)^2}$

$y' = \frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4)^2}$

$y' = \frac{-2(x^2-3x-4)}{(x^2+4)^2}$

$y' = \frac{-2(x-4)(x+1)}{(x^2+4)^2}$

(2) 導関数が0になる点を求める。

$y' = 0$ となるのは、分子が0のときである。

$-2(x-4)(x+1) = 0$

$x = 4, -1$

(3) 増減表を作成する。

$x$ | $x < -1$ | $x = -1$ | $-1 < x < 4$ | $x = 4$ | $x > 4$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$y'$ | - | 0 | + | 0 | -

$y$ | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少

$x = -1$ のとき、$y = \frac{2(-1)-3}{(-1)^2+4} = \frac{-5}{5} = -1$

$x = 4$ のとき、$y = \frac{2(4)-3}{(4)^2+4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

極小値：$x = -1$ のとき、$y = -1$

極大値：$x = 4$ のとき、$y = \frac{1}{4}$