与えられた関数 $f(x)$ と区間 $[a, b]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であり、$(a, b)$ で微分可能であるとき、 $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、という定理です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と区間 $[a, b]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であり、$(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、という定理です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で$c$を求めます。

1. $f(a)$と$f(b)$を計算します。

2. $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。

3. $f'(x)$を計算します。

4. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を満たす $c$ を求めます。

5. $a < c < b$ を満たす $c$ が解となります。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$の場合：

1. $f(1) = 1^3 = 1$, $f(3) = 3^3 = 27$

2. $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{3 - 1} = \frac{26}{2} = 13$

3. $f'(x) = 3x^2$

4. $f'(c) = 3c^2 = 13$

$c^2 = \frac{13}{3}$

$c = \pm\sqrt{\frac{13}{3}} = \pm\frac{\sqrt{39}}{3}$

5. $1 < c < 3$ を満たすのは $c = \frac{\sqrt{39}}{3}$ ($\frac{\sqrt{39}}{3} \approx 2.08$)

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$の場合：

1. $f(2) = \frac{2}{2} = 1$, $f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

2. $\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{4 - 2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$

3. $f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

4. $f'(c) = -\frac{2}{c^2} = -\frac{1}{4}$

$c^2 = 8$

$c = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

5. $2 < c < 4$ を満たすのは $c = 2\sqrt{2}$ ($2\sqrt{2} \approx 2.83$)

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$の場合：

1. $f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6$, $f(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6$

2. $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{6 - (-6)}{2 - (-2)} = \frac{12}{4} = 3$

3. $f'(x) = 3x^2 - 1$

4. $f'(c) = 3c^2 - 1 = 3$

$3c^2 = 4$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$

5. $-2 < c < 2$ を満たすのは $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ と $c = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ($ \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15$)

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $c = 2\sqrt{2}$

(3) $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}$