与えられた重積分 $\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} 2e^{y^2}dydx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた重積分

$\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} 2e^{y^2}dydx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分順序を変更します。現在の積分範囲は、$0 \le x \le 1$ かつ $x \le y \le 1$ です。これを $x$ と $y$ の範囲として書き換えると、$0 \le y \le 1$ かつ $0 \le x \le y$ となります。したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 2e^{y^2}dxdy$

次に、内側の積分を計算します。

$\int_{0}^{y} 2e^{y^2}dx = 2e^{y^2} \int_{0}^{y} dx = 2e^{y^2}[x]_{0}^{y} = 2e^{y^2}(y - 0) = 2ye^{y^2}$

したがって、積分の式は次のようになります。

$\int_{0}^{1} 2ye^{y^2} dy$

ここで、$u = y^2$ と置換すると、$du = 2ydy$ となります。$y = 0$ のとき $u = 0$, $y = 1$ のとき $u = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} e^{u} du = [e^{u}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$

3. 最終的な答え

$e - 1$