与えられた2重積分 $\int_{0}^{4} \int_{\frac{y}{2}}^{2} \cos(x^2) dx dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた2重積分

$\int_{0}^{4} \int_{\frac{y}{2}}^{2} \cos(x^2) dx dy$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の順序を変更します。積分領域は $\frac{y}{2} \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 4$ で表されます。

これを $x$ と $y$ で表すと、$0 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 2x$ となります。したがって、積分の順序を変更すると、

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{2x} \cos(x^2) dy dx$

となります。

次に、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{2x} \cos(x^2) dy = \cos(x^2) \int_{0}^{2x} dy = \cos(x^2) [y]_{0}^{2x} = 2x \cos(x^2)$

したがって、

$\int_{0}^{2} 2x \cos(x^2) dx$

となります。

ここで、$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

$x = 0$ のとき $u = 0$ であり、$x = 2$ のとき $u = 4$ です。

したがって、

$\int_{0}^{4} \cos(u) du = [\sin(u)]_{0}^{4} = \sin(4) - \sin(0) = \sin(4)$

となります。

3. 最終的な答え

$\sin(4)$