正の整数 $n$ に対して、以下の和 $S_n$ を求めます。 $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$$

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、以下の和 $S_n$ を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$ とおくと、

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$ となります。

$k = -\frac{1}{2}$ とすると、$1 = A(2) + B(0)$ より、$A = \frac{1}{2}$ 。

$k = -\frac{3}{2}$ とすると、$1 = A(0) + B(-2)$ より、$B = -\frac{1}{2}$ 。

したがって、

$$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$$

次に、和を計算します。

\begin{align*}

S_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} \\

&= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) \\

&= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right)\right] \\

&= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\right) \\

&= \frac{1}{2}\left(\frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)}\right) \\

&= \frac{1}{2}\left(\frac{2n}{3(2n+3)}\right) \\

&= \frac{n}{3(2n+3)}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$$S_n = \frac{n}{6n+9}$$