正の整数 $n$ に対して、次の和 $S_n$ を求めます。 $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} $$

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、次の和 $S_n$ を求めます。

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S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}

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2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を部分分数分解します。

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\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}

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両辺に $(2k+1)(2k+3)$ を掛けると、

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1 = A(2k+3) + B(2k+1)

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$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{3}{2}$ を代入すると、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

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\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)

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これを用いて、$S_n$ を計算します。

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S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)

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これは、差の形になっているので、和を書き下すと、

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S_n = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right)\right]

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多くの項が相殺されるので、

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S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{3(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}

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3. 最終的な答え

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S_n = \frac{n}{3(2n+3)}

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