$\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ を用いて、次の極限値を求めよ。 (1) $\lim_{h\to 0}(1+3h)^{\frac{1}{h}}$ (2) $\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{x}$ (3) $\lim_{x\to \infty}x\log{\frac{x+2}{x}}$

1. 問題の内容

$\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ を用いて、次の極限値を求めよ。

(1) $\lim_{h\to 0}(1+3h)^{\frac{1}{h}}$

(2) $\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{x}$

(3) $\lim_{x\to \infty}x\log{\frac{x+2}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{h\to 0}(1+3h)^{\frac{1}{h}}$

$3h = t$ とおくと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ であり、$h = \frac{t}{3}$ となる。

よって、

$\lim_{h\to 0}(1+3h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t\to 0}\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}^3$

$\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e$ より

$\lim_{t\to 0}\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}^3 = e^3$

(2) $\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{x}$

$\frac{3}{x} = t$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x = \frac{3}{t}$ となる。

よって、

$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{x} = \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t\to 0}\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}^3$

$\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e$ より

$\lim_{t\to 0}\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}^3 = e^3$

(3) $\lim_{x\to \infty}x\log{\frac{x+2}{x}}$

$\lim_{x\to \infty}x\log{\frac{x+2}{x}} = \lim_{x\to \infty}x\log{(1+\frac{2}{x})}$

$\frac{2}{x} = t$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x = \frac{2}{t}$ となる。

$\lim_{x\to \infty}x\log{(1+\frac{2}{x})} = \lim_{t\to 0}\frac{2}{t}\log{(1+t)} = 2\lim_{t\to 0}\frac{\log{(1+t)}}{t}$

ここで、$\lim_{t\to 0}\frac{\log{(1+t)}}{t} = 1$ (これはよく知られた極限)

よって、$\lim_{x\to \infty}x\log{\frac{x+2}{x}} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $e^3$

(2) $e^3$

(3) $2$