問題は、以下の2つの積分を部分積分を用いて計算することです。 (1) $\int x^2 \cos x \, dx$ (2) $\int e^x \sin x \, dx$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの積分を部分積分を用いて計算することです。

(1) $\int x^2 \cos x \, dx$

(2) $\int e^x \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x^2 \cos x \, dx$ を計算します。

部分積分を2回適用します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

1回目:

$u = x^2$, $dv = \cos x \, dx$ とすると, $du = 2x \, dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx$

2回目:

$\int x \sin x \, dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると, $du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C_1$

これらをまとめると、

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$

(2) $\int e^x \sin x \, dx$ を計算します。

部分積分を2回適用します。

1回目:

$u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ とすると, $du = \cos x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

2回目:

$\int e^x \cos x \, dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ とすると, $du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

これらをまとめると、

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx)$

$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x \, dx$

$2 \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - e^x \cos x + C_1$

$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} (e^x \sin x - e^x \cos x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$

(2) $\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$