次の6つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (2n^3 - n^2)$ (2) $\lim_{n \to \infty} (n - 3n^2)$ (3) $\lim_{n \to \infty} (2n - n^3)$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n-2}$ (5) $\lim_{n \to \infty} \frac{4n-1}{n^2+3}$ (6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-2n}{2n+1}$

1. 問題の内容

次の6つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (2n^3 - n^2)$

(2) $\lim_{n \to \infty} (n - 3n^2)$

(3) $\lim_{n \to \infty} (2n - n^3)$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n-2}$

(5) $\lim_{n \to \infty} \frac{4n-1}{n^2+3}$

(6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-2n}{2n+1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} (2n^3 - n^2)$: $n^3$でくくると、$2n^3 - n^2 = n^3(2 - \frac{1}{n})$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、$2 - \frac{1}{n} \to 2$です。また、$n^3 \to \infty$なので、$n^3(2 - \frac{1}{n}) \to \infty$です。

(2) $\lim_{n \to \infty} (n - 3n^2)$: $n^2$でくくると、$n - 3n^2 = n^2(\frac{1}{n} - 3)$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、$\frac{1}{n} - 3 \to -3$です。また、$n^2 \to \infty$なので、$n^2(\frac{1}{n} - 3) \to -\infty$です。

(3) $\lim_{n \to \infty} (2n - n^3)$: $n^3$でくくると、$2n - n^3 = n^3(\frac{2}{n^2} - 1)$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n^2} \to 0$なので、$\frac{2}{n^2} - 1 \to -1$です。また、$n^3 \to \infty$なので、$n^3(\frac{2}{n^2} - 1) \to -\infty$です。

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n-2}$: 分子と分母を$n$で割ると、$\frac{2n+1}{3n-2} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{2}{n}}$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、$\frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{2}{n}} \to \frac{2}{3}$です。

(5) $\lim_{n \to \infty} \frac{4n-1}{n^2+3}$: 分子と分母を$n^2$で割ると、$\frac{4n-1}{n^2+3} = \frac{\frac{4}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^2}}$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{4}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{3}{n^2} \to 0$なので、$\frac{\frac{4}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^2}} \to \frac{0}{1} = 0$です。

(6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-2n}{2n+1}$: 分子と分母を$n$で割ると、$\frac{n^2-2n}{2n+1} = \frac{n-2}{2 + \frac{1}{n}}$となります。$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、$2 + \frac{1}{n} \to 2$です。また、$n \to \infty$のとき、$n-2 \to \infty$なので、$\frac{n-2}{2 + \frac{1}{n}} \to \infty$です。

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-\infty$

(3) $-\infty$

(4) $\frac{2}{3}$

(5) $0$

(6) $\infty$