与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \log \sqrt[n]{n+1} + \log \sqrt[n]{n+2} + \dots + \log \sqrt[n]{2n} - \log n \right) $$

解析学極限対数リーマン和積分
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。
limn(logn+1n+logn+2n++log2nnlogn) \lim_{n \to \infty} \left( \log \sqrt[n]{n+1} + \log \sqrt[n]{n+2} + \dots + \log \sqrt[n]{2n} - \log n \right)

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。
logn+1n+logn+2n++log2nn=k=1nlogn+kn=k=1n1nlog(n+k) \log \sqrt[n]{n+1} + \log \sqrt[n]{n+2} + \dots + \log \sqrt[n]{2n} = \sum_{k=1}^{n} \log \sqrt[n]{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log (n+k)
したがって、求める極限は
limn(k=1n1nlog(n+k)logn)=limn(k=1n1nlog(n+k)k=1n1nlogn) \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log (n+k) - \log n \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log (n+k) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log n \right)
=limnk=1n1n(log(n+k)logn)=limnk=1n1nlog(n+kn) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left( \log (n+k) - \log n \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log \left( \frac{n+k}{n} \right)
=limnk=1n1nlog(1+kn) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log \left( 1 + \frac{k}{n} \right)
これはリーマン和の形をしているため、積分に変換できます。
01log(1+x)dx \int_{0}^{1} \log (1+x) dx
部分積分を用いて計算します。
01log(1+x)dx=[(1+x)log(1+x)(1+x)]01=(2log22)(log11)=2log22+1=2log21 \int_{0}^{1} \log (1+x) dx = \left[ (1+x) \log (1+x) - (1+x) \right]_{0}^{1} = (2 \log 2 - 2) - (\log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = 2 \log 2 - 1
したがって、求める極限は 2log212 \log 2 - 1 です。

3. 最終的な答え

2log212 \log 2 - 1

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