与えられた2つの積分を、公式16.2を用いて計算する問題です。 (1) $\int \sqrt{9-x^2} dx$ (2) $\int \sqrt{x^2+5} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を、公式16.2を用いて計算する問題です。

(1) $\int \sqrt{9-x^2} dx$

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx$

2. 解き方の手順

まず、公式16.2の内容を確認する必要があります。しかし、公式16.2が明示的に与えられていないため、一般的な積分公式を用いて計算します。

(1) $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$

ここで $a = 3$ とすると、

$\int \sqrt{9-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C$

(2) $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$

または

$\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + C$

ここで $a = \sqrt{5}$ とすると、

$\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2}\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C$

または

$\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+5}\right| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{9-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C$

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2}\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C$

または

(2) $\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+5}\right| + C$