$f(x)$ は0でない $x$ の整式で、次の等式を満たしている。 $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$, $f(0) = 1$ (1) $f(x)$ の次数を求めよ。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は0でない $x$ の整式で、次の等式を満たしている。

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$, $f(0) = 1$

(1) $f(x)$ の次数を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の次数を $n$ とすると、$f'(x)$ の次数は $n-1$、$f''(x)$ の次数は $n-2$ である。

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ において、$x$ の次数の最も高い項を考えると、$-xf'(x) + 3f(x) = 0$ である。

$x f'(x)$ の次数は $n$ であり、$3 f(x)$ の次数も $n$ であるので、この項が消えなければならない。

仮に $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ ($a_n \neq 0$) とすると、

$f'(x) = n a_n x^{n-1} + \cdots$

$x f'(x) = n a_n x^n + \cdots$

$-xf'(x) + 3f(x) = -n a_n x^n + 3 a_n x^n + \cdots = (3-n) a_n x^n + \cdots = 0$

よって、$3 - n = 0$ より、$n = 3$ である。

(2) $f(x)$ を求める。

$f(x)$ は3次式なので、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。$f(0)=1$ より $d=1$ である。

よって、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f''(x) = 6ax + 2b$

これらを $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ に代入する。

$x(6ax + 2b) + (1-x)(3ax^2 + 2bx + c) + 3(ax^3 + bx^2 + cx + 1) = 0$

$6ax^2 + 2bx + 3ax^2 + 2bx + c - 3ax^3 - 2bx^2 - cx + 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx + 3 = 0$

$6ax^2 + 2bx + 3ax^2 + 2bx + c - 3ax^3 - 2bx^2 - cx + 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx + 3 = 0$

$(6a + 3a - 2b + 3b)x^2 + (2b + 2b - c + 3c)x + (c + 3) = 0$

$(9a + b)x^2 + (4b + 2c)x + (c + 3) = 0$

これが全ての $x$ について成り立つので、各係数は0である。

$9a + b = 0$

$4b + 2c = 0$

$c + 3 = 0$

$c = -3$

$4b + 2(-3) = 0$

$4b = 6$

$b = \frac{3}{2}$

$9a + \frac{3}{2} = 0$

$9a = -\frac{3}{2}$

$a = -\frac{1}{6}$

よって、$f(x) = -\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $f(x) = -\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$