$\lim_{n\to\infty} a_n = 1$、$\lim_{n\to\infty} b_n = -2$のとき、以下の極限を求めよ。 (1) $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n)$ (2) $\lim_{n\to\infty} (3a_n + 2b_n)$ (3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - 1)$ (4) $\lim_{n\to\infty} a_n b_n$ (5) $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n + 5}{2a_n - 1}$ (6) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n - b_n}{a_n + b_n}$

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} a_n = 1$、$\lim_{n\to\infty} b_n = -2$のとき、以下の極限を求めよ。

(1) $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n)$

(2) $\lim_{n\to\infty} (3a_n + 2b_n)$

(3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - 1)$

(4) $\lim_{n\to\infty} a_n b_n$

(5) $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n + 5}{2a_n - 1}$

(6) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n - b_n}{a_n + b_n}$

2. 解き方の手順

各極限の性質を利用して計算します。

(1) $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} b_n = 1 - (-2) = 3$

(2) $\lim_{n\to\infty} (3a_n + 2b_n) = 3 \lim_{n\to\infty} a_n + 2 \lim_{n\to\infty} b_n = 3(1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1$

(3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - 1) = \lim_{n\to\infty} a_n - 1 = 1 - 1 = 0$

(4) $\lim_{n\to\infty} a_n b_n = (\lim_{n\to\infty} a_n) (\lim_{n\to\infty} b_n) = (1)(-2) = -2$

(5) $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n + 5}{2a_n - 1} = \frac{\lim_{n\to\infty} b_n + 5}{2 \lim_{n\to\infty} a_n - 1} = \frac{-2 + 5}{2(1) - 1} = \frac{3}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$

(6) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n - b_n}{a_n + b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} b_n}{\lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n} = \frac{1 - (-2)}{1 + (-2)} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -1

(3) 0

(4) -2

(5) 3

(6) -3