与えられた積分を計算します。 (1) $\int x\sqrt{x^2-1} \, dx$ (2) $\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

(1) $\int x\sqrt{x^2-1} \, dx$

(2) $\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) 置換積分を行います。$u = x^2 - 1$ とおくと、$du = 2x \, dx$ となります。よって、$x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ です。

$\int x\sqrt{x^2-1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u$ を $x^2 - 1$ に戻すと、

$\frac{1}{3} (x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) 置換積分を行います。$u = e^{2x} + e^{-x}$ とおくと、$du = (2e^{2x} - e^{-x}) \, dx$ となります。

$\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx = \int u^4 \, du$

$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C$

$u$ を $e^{2x} + e^{-x}$ に戻すと、

$\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{5} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} (x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{5} + C$