以下の3つの三角関数の公式を示す問題です。 (5) $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$ (6) $2 \cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$ (7) $2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$

1. 問題の内容

以下の3つの三角関数の公式を示す問題です。

(5) $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$

(6) $2 \cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

(7) $2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$

2. 解き方の手順

これらの公式は、三角関数の加法定理から導くことができます。

(5)

まず、$\sin(x+y)$ と $\sin(x-y)$ の加法定理を書き出します。

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

これらの式を足し合わせると、

$\sin(x+y) + \sin(x-y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y)$

$\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$

したがって、$2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$

(6)

$\cos(x+y)$ と $\cos(x-y)$ の加法定理を書き出します。

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

これらの式を足し合わせると、

$\cos(x+y) + \cos(x-y) = (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + (\cos x \cos y + \sin x \sin y)$

$\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2 \cos x \cos y$

したがって、$2 \cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

(7)

$\cos(x-y)$ と $\cos(x+y)$ の加法定理を書き出します。

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x-y)$ から $\cos(x+y)$ を引くと、

$\cos(x-y) - \cos(x+y) = (\cos x \cos y + \sin x \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y)$

$\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin x \sin y$

したがって、$2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$

3. 最終的な答え

(5) $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$

(6) $2 \cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

(7) $2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$