以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$ の場合：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

$\frac{\sin 2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}$

$x \to 0$ のとき $2x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ となります。

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ の場合：

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x \cos x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$ と変形できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ の場合：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

$\frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3}{5}$

$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ となります。同様に $x \to 0$ のとき $5x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ となります。したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}} = \frac{1}{1} = 1$ となります。

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $1$

(3) $\frac{3}{5}$