与えられた三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について導関数を計算します。 (1) $\sin \theta + \cos \theta$ (2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ (3) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (4) $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について導関数を計算します。

(1) $\sin \theta + \cos \theta$

(2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$

(3) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(4) $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$

2. 解き方の手順

各関数について、$\theta$ に関する導関数を求めます。

(1) $\sin \theta + \cos \theta$ の導関数：

$\frac{d}{d\theta} (\sin \theta + \cos \theta) = \frac{d}{d\theta} \sin \theta + \frac{d}{d\theta} \cos \theta$

$\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta$

$\frac{d}{d\theta} \cos \theta = -\sin \theta$

したがって、

$\frac{d}{d\theta} (\sin \theta + \cos \theta) = \cos \theta - \sin \theta$

(2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ の導関数：

三角関数の基本的な恒等式より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ です。

したがって、

$\frac{d}{d\theta} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \frac{d}{d\theta} (1) = 0$

(3) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の導関数：

$\frac{d}{d\theta} (\sin^3 \theta + \cos^3 \theta) = \frac{d}{d\theta} \sin^3 \theta + \frac{d}{d\theta} \cos^3 \theta$

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{d}{d\theta} \sin^3 \theta = 3 \sin^2 \theta \cdot \frac{d}{d\theta} \sin \theta = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$

$\frac{d}{d\theta} \cos^3 \theta = 3 \cos^2 \theta \cdot \frac{d}{d\theta} \cos \theta = 3 \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3 \cos^2 \theta \sin \theta$

したがって、

$\frac{d}{d\theta} (\sin^3 \theta + \cos^3 \theta) = 3 \sin^2 \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta \sin \theta = 3 \sin \theta \cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)$

(4) $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ の導関数：

$\frac{d}{d\theta} (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) = \frac{d}{d\theta} \sin^4 \theta + \frac{d}{d\theta} \cos^4 \theta$

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{d}{d\theta} \sin^4 \theta = 4 \sin^3 \theta \cdot \frac{d}{d\theta} \sin \theta = 4 \sin^3 \theta \cos \theta$

$\frac{d}{d\theta} \cos^4 \theta = 4 \cos^3 \theta \cdot \frac{d}{d\theta} \cos \theta = 4 \cos^3 \theta (-\sin \theta) = -4 \cos^3 \theta \sin \theta$

したがって、

$\frac{d}{d\theta} (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) = 4 \sin^3 \theta \cos \theta - 4 \cos^3 \theta \sin \theta = 4 \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)$

ここで、$\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = - \cos 2\theta$ かつ $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$なので、

$\frac{d}{d\theta} (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) = -2 \sin 2\theta \cos 2\theta = -\sin 4\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta - \sin \theta$

(2) $0$

(3) $3 \sin \theta \cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)$

(4) $-\sin 4\theta$