$\theta$ の範囲に制限がないとき、以下の三角不等式を解く。 (1) $2\sin\theta \geq \sqrt{3}$ (2) $2\cos\theta < \sqrt{2}$ (3) $\sqrt{3}\tan\theta > 1$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲に制限がないとき、以下の三角不等式を解く。

(1) $2\sin\theta \geq \sqrt{3}$

(2) $2\cos\theta < \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3}\tan\theta > 1$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin\theta \geq \sqrt{3}$

$\sin\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ である。$\sin\theta$ は $y$ 座標に対応するため、単位円で考えると、

$\frac{\pi}{3} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)

(2) $2\cos\theta < \sqrt{2}$

$\cos\theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ である。$\cos\theta$ は $x$ 座標に対応するため、単位円で考えると、

$\frac{\pi}{4} + 2\pi > \theta > \frac{7\pi}{4} + 2\pi$を整理すると,

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi < \theta < \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

(3) $\sqrt{3}\tan\theta > 1$

$\tan\theta > \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ である。

$\tan\theta$ は傾きに対応し、$\tan\theta$ は周期 $\pi$ の関数であるため、

$\frac{\pi}{6} + n\pi < \theta < \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)

(2) $\frac{\pi}{4} + 2n\pi < \theta < \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

(3) $\frac{\pi}{6} + n\pi < \theta < \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)