次の2つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方

分子の $1-\cos x$ に $1+\cos x$ を掛けます。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos x}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos x}$

$= 1^2 \cdot \frac{1}{1+\cos 0} = 1 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(2) の解き方

(1)の結果を利用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x} \cdot \frac{x}{x}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

$= 1 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $2$