問題は、以下の3つの逆数関数について、それぞれ値域と導関数を求めることです。 (1) $\csc \theta$ (2) $\sec \theta$ (3) $\cot \theta$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの逆数関数について、それぞれ値域と導関数を求めることです。

(1) $\csc \theta$

(2) $\sec \theta$

(3) $\cot \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\csc \theta$ (コセカント)

* 値域: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ であり、$-1 \leq \sin \theta \leq 1$ (ただし、$\sin \theta \neq 0$) であるため、 $\csc \theta \leq -1$ または $\csc \theta \geq 1$ となります。

* 導関数: $(\csc \theta)' = (\frac{1}{\sin \theta})' = -\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} = -\csc \theta \cot \theta$

(2) $\sec \theta$ (セカント)

* 値域: $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ であり、$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ (ただし、$\cos \theta \neq 0$) であるため、 $\sec \theta \leq -1$ または $\sec \theta \geq 1$ となります。

* 導関数: $(\sec \theta)' = (\frac{1}{\cos \theta})' = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \sec \theta \tan \theta$

(3) $\cot \theta$ (コタンジェント)

* 値域: $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ であり、$-\infty < \cot \theta < \infty$

* 導関数: $(\cot \theta)' = (\frac{\cos \theta}{\sin \theta})' = \frac{-\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = -\frac{1}{\sin^2 \theta} = -\csc^2 \theta$

3. 最終的な答え

(1) $\csc \theta$

* 値域: $\csc \theta \leq -1$ または $\csc \theta \geq 1$

* 導関数: $(\csc \theta)' = -\csc \theta \cot \theta$

(2) $\sec \theta$

* 値域: $\sec \theta \leq -1$ または $\sec \theta \geq 1$

* 導関数: $(\sec \theta)' = \sec \theta \tan \theta$

(3) $\cot \theta$

* 値域: $-\infty < \cot \theta < \infty$

* 導関数: $(\cot \theta)' = -\csc^2 \theta$