$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \frac{1}{2} \cos 2\theta + 2 \sin \theta + \frac{1}{2}$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \frac{1}{2} \cos 2\theta + 2 \sin \theta + \frac{1}{2}$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表す。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、関数 $y$ は

$$y = \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta) + 2\sin \theta + \frac{1}{2} = 1 - \sin^2 \theta + 2\sin \theta$$

となる。ここで、$t = \sin \theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$$y = -t^2 + 2t = -(t^2 - 2t) = -(t^2 - 2t + 1) + 1 = -(t - 1)^2 + 1$$

となる。

$y$ は $t = 1$ のとき最大値 $1$ をとり、$t = -1$ のとき最小値 $-(-1 - 1)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$ をとる。

$t = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$ である。

$t = -1$ のとき、$\sin \theta = -1$ より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき)

最小値: $-3$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)