関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 \le x < 2\pi$ とする。 (1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。 (2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めよ。 (3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 \le x < 2\pi$ とする。

(1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めよ。

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数を合成する。

$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$

$0 \le x < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\sin$ の最大値は $1$ で、最小値は $-1$ であるから、

$y$ の最大値は $2$, 最小値は $-2$ となる。

最大値をとるとき、$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より $x = \frac{5\pi}{6}$

最小値をとるとき、$x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ より $x = \frac{11\pi}{6}$

(2) $y = 0$ より $2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 0$

$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = 0, \pi$ より $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $y \le 0$ より $2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \le 0$

$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \le 0$

$\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le 2\pi$

$\pi + \frac{\pi}{3} \le x \le 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $2$ ($x = \frac{5\pi}{6}$), 最小値 $-2$ ($x = \frac{11\pi}{6}$)

(2) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$