与えられた積分 $\int_{-x}^{x} (sin(t) - pt)^2 dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int_{-x}^{x} (sin(t) - pt)^2 dt$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(sin(t) - pt)^2 = sin^2(t) - 2pt sin(t) + p^2 t^2$

次に、積分を各項に分けます。

$\int_{-x}^{x} (sin^2(t) - 2pt sin(t) + p^2 t^2) dt = \int_{-x}^{x} sin^2(t) dt - 2p \int_{-x}^{x} t sin(t) dt + p^2 \int_{-x}^{x} t^2 dt$

各積分を計算します。

$\int_{-x}^{x} sin^2(t) dt = \int_{-x}^{x} \frac{1 - cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} [t - \frac{1}{2}sin(2t)]_{-x}^{x} = \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2}sin(2x) - (-x - \frac{1}{2}sin(-2x))] = \frac{1}{2}[2x - sin(2x)] = x - \frac{1}{2}sin(2x)$

$\int_{-x}^{x} t sin(t) dt$ は偶関数なので、

$\int_{-x}^{x} t sin(t) dt = 2 \int_{0}^{x} t sin(t) dt = 2 [-t cos(t) + sin(t)]_{0}^{x} = 2[-x cos(x) + sin(x)] = 2sin(x) - 2x cos(x)$

$\int_{-x}^{x} t^2 dt = [\frac{1}{3}t^3]_{-x}^{x} = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}(-x)^3 = \frac{2}{3}x^3$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-x}^{x} (sin^2(t) - 2pt sin(t) + p^2 t^2) dt = x - \frac{1}{2}sin(2x) - 2p(2sin(x) - 2x cos(x)) + p^2 (\frac{2}{3}x^3)$

$= x - \frac{1}{2}sin(2x) - 4p sin(x) + 4px cos(x) + \frac{2}{3}p^2 x^3$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{2}sin(2x) - 4p sin(x) + 4px cos(x) + \frac{2}{3}p^2 x^3$