与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数を用いた置換積分によって解くことができます。

ステップ1: $x = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

また、積分区間も変わります。

$x=0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

ステップ2: 置換積分を行います。

$$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot \cos \theta \, d\theta$$

$$\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta$$

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta \, d\theta$$

ステップ3: $\cos^2 \theta$ を半角の公式を用いて変形します。

$$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$$

したがって、積分は

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

ステップ4: 積分区間の値を代入します。

$$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin(0) \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$$

$$= \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$