与えられた区分的に定義された関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$は周期関数とする。 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた区分的に定義された関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$は周期関数とする。

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

2. 解き方の手順

周期 $T=4$ の関数$f(x)$のフーリエ級数展開は、以下の式で与えられます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right)$

ここで、$T=4$なので、

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \right)$

フーリエ係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ は以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx$

この問題では $T=4$ なので、

$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx$

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} (-2) dx + \int_{0}^{2} 2 dx \right) = \frac{1}{2} \left( [-2x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2} \right) = \frac{1}{2} \left( (0 - 4) + (4 - 0) \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} (-2) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx + \int_{0}^{2} 2 \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx \right)$

$a_n = \frac{1}{2} \left( [-2 \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right)]_{-2}^{0} + [2 \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right)]_{0}^{2} \right)$

$a_n = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{\pi n} (\sin(0) - \sin(-\pi n)) + \frac{4}{\pi n} (\sin(\pi n) - \sin(0)) \right) = \frac{1}{2} (0 + 0) = 0$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} (-2) \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx + \int_{0}^{2} 2 \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) dx \right)$

$b_n = \frac{1}{2} \left( [-2 \cdot (-\frac{2}{\pi n}) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right)]_{-2}^{0} + [2 \cdot (-\frac{2}{\pi n}) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right)]_{0}^{2} \right)$

$b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{\pi n} (\cos(0) - \cos(-\pi n)) - \frac{4}{\pi n} (\cos(\pi n) - \cos(0)) \right)$

$b_n = \frac{2}{\pi n} (1 - \cos(n\pi) - \cos(n\pi) + 1) = \frac{2}{\pi n} (2 - 2\cos(n\pi))$

$b_n = \frac{4}{\pi n} (1 - \cos(n\pi))$

$\cos(n\pi) = (-1)^n$ なので、$b_n = \frac{4}{\pi n} (1 - (-1)^n)$

$n$が偶数のとき、$b_n = 0$

$n$が奇数のとき、$b_n = \frac{8}{\pi n}$

よって、$n = 2k-1$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) とすると、

$b_{2k-1} = \frac{8}{\pi (2k-1)}$

したがって、フーリエ級数展開は、

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k-1)} \sin\left(\frac{\pi (2k-1) x}{2}\right)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k-1)} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi x}{2}\right)$