(1) $y=x^2$ と $y=3x$ で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。 (2) $x = -y^2 + 6y - 8$ と y軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $y=x^2$ と $y=3x$ で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。

(2) $x = -y^2 + 6y - 8$ と y軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=x^2$ と $y=3x$ の交点を求めます。

$x^2 = 3x$ より、$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$ となり、$x=0, 3$

よって交点のx座標は、$0$ と $3$ です。

回転体の体積Vは、

$V = \pi \int_0^3 (3x)^2 - (x^2)^2 dx = \pi \int_0^3 (9x^2 - x^4) dx$

$= \pi [3x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^3 = \pi [3(3^3) - \frac{1}{5}(3^5) - (0)] = \pi [81 - \frac{243}{5}] = \pi [\frac{405-243}{5}] = \frac{162}{5}\pi$

(2)

$x = -y^2 + 6y - 8$ と y軸（$x=0$）の交点を求めます。

$-y^2 + 6y - 8 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

$(y-2)(y-4) = 0$ となり、$y=2, 4$

よって交点のy座標は、$2$ と $4$ です。

回転体の体積Vは、

$V = \pi \int_2^4 x^2 dy = \pi \int_2^4 (-y^2 + 6y - 8)^2 dy = \pi \int_2^4 (y^4 - 12y^3 + 52y^2 - 96y + 64) dy$

$= \pi [\frac{1}{5}y^5 - 3y^4 + \frac{52}{3}y^3 - 48y^2 + 64y]_2^4$

$= \pi [(\frac{1024}{5} - 768 + \frac{3328}{3} - 768 + 256) - (\frac{32}{5} - 48 + \frac{416}{3} - 192 + 128)]$

$= \pi [(\frac{1024}{5} - 1280 + \frac{3328}{3} + 256) - (\frac{32}{5} - 240 + \frac{416}{3} + 128 - 192)]$

$= \pi [\frac{1024}{5} - \frac{32}{5} + \frac{3328}{3} - \frac{416}{3} -1024+160 ]$

$= \pi [\frac{992}{5} + \frac{2912}{3} - 864] = \pi [\frac{2976+14560-12960}{15}] = \frac{4576}{15} \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{162}{5}\pi$

(2) $\frac{4576}{15}\pi$