与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}}}$$

指数部分を整理します。

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = \frac{-1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}$$

よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = 0$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} n^{\frac{-1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}} = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{-\ln n}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}\right)$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^{3/2}} = 0$ なので（ロピタルの定理を使うなどして示せる）、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = 0$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} = e^0 = 1$$

よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0}$$

これは不定形なので、テイラー展開を用いて考える。

$n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}} = \exp \left[ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n}} \right) \ln n \right] = \exp \left[ \frac{- \ln n}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} \right]$

$\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}) \sim \sqrt{n^2} (\sqrt{n} + \sqrt{n}) = n \cdot 2\sqrt{n} = 2 n^{3/2}$.

ゆえに $\exp \left[ \frac{-\ln n}{2n^{3/2}} \right] \sim 1 - \frac{\ln n}{2n^{3/2}} + ...$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \left( 1 - \frac{\ln n}{2n^{3/2}} \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\ln n}{2n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{3/2}}{\ln n} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$