問題は、$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ を満たす $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ を満たす $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ は因数分解できます。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うと、

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

ここで、 $x = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと、 $x^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ なので、 $\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2-1}{2}$ となります。

よって、 $\sin^3\theta + \cos^3\theta = x(1 - \frac{x^2-1}{2}) = x(\frac{3-x^2}{2}) = \frac{3x - x^3}{2}$

問題文より $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ なので、 $\frac{3x - x^3}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$

これを整理すると、$3x - x^3 = \frac{9\sqrt{3}}{8}$ となり、$8x^3 - 24x + 9\sqrt{3} = 0$

ここで、$x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ であることを考慮すると、 $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ である。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 - 24(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9\sqrt{3} = 8 (\frac{3\sqrt{3}}{8}) - 12\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 0$

なので、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ は解の一つである。

$x=\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、 $\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\theta = \arcsin(\frac{\sqrt{6}}{4}) - \frac{\pi}{4}$

この問題は$\theta$の値を求める問題ではなく、$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値が正しいかどうかを検証する問題であると解釈できる。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ は正しい。

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{16}$