定積分 $\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\sin t - pt)^2 = \sin^2 t - 2pt\sin t + p^2t^2$

したがって、積分は

$\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt = \int_{-x}^{x} (\sin^2 t - 2pt\sin t + p^2t^2) dt$

となります。

積分を3つに分けます。

$\int_{-x}^{x} \sin^2 t dt - \int_{-x}^{x} 2pt\sin t dt + \int_{-x}^{x} p^2t^2 dt$

各積分を計算します。

$\int_{-x}^{x} \sin^2 t dt = \int_{-x}^{x} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = [\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}]_{-x}^{x} = (\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}) - (-\frac{x}{2} - \frac{\sin(-2x)}{4}) = x - \frac{\sin(2x)}{2}$

$\int_{-x}^{x} 2pt\sin t dt$ は、被積分関数が偶関数と奇関数の積であるため奇関数となり、積分区間が対称であることから0になります。

$\int_{-x}^{x} 2pt\sin t dt = 0$

$\int_{-x}^{x} p^2t^2 dt = p^2 \int_{-x}^{x} t^2 dt = p^2 [\frac{t^3}{3}]_{-x}^{x} = p^2 (\frac{x^3}{3} - \frac{(-x)^3}{3}) = p^2 (\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}) = \frac{2p^2x^3}{3}$

したがって、積分は

$x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{2p^2x^3}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt = x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{2}{3} p^2 x^3$