与えられた区分的に定義された関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数は以下の通りです。 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$ この関数は周期関数であると仮定します。

1. 問題の内容

与えられた区分的に定義された関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数は以下の通りです。

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

この関数は周期関数であると仮定します。

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開の一般的な形は次の通りです。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}))$

ここで、$L$ は周期の半分です。この場合、$L = 2$ です。

フーリエ係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ は次のように計算できます。

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} -2 dx + \int_{0}^{2} 2 dx \right) = \frac{1}{2} \left( [-2x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2} \right) = \frac{1}{2} \left( (0 - 4) + (4 - 0) \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} -2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx \right)$

$a_n = \frac{1}{2} \left( -2 \left[ \frac{2}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2}) \right]_{-2}^{0} + 2 \left[ \frac{2}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2}) \right]_{0}^{2} \right)$

$a_n = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{n\pi} (\sin(0) - \sin(-n\pi)) + \frac{4}{n\pi} (\sin(n\pi) - \sin(0)) \right) = \frac{1}{2} (0 + 0) = 0$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^{0} -2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx \right)$

$b_n = \frac{1}{2} \left( -2 \left[ -\frac{2}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{2}) \right]_{-2}^{0} + 2 \left[ -\frac{2}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{2}) \right]_{0}^{2} \right)$

$b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{n\pi} (\cos(0) - \cos(-n\pi)) - \frac{4}{n\pi} (\cos(n\pi) - \cos(0)) \right)$

$b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi) - \cos(n\pi) + 1) = \frac{4}{n\pi} (1 - \cos(n\pi))$

$\cos(n\pi) = (-1)^n$ なので、

$b_n = \frac{4}{n\pi} (1 - (-1)^n) = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \frac{8}{n\pi} & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

したがって、フーリエ級数は次のようになります。

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{n\pi x}{2}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$