次の2つの問題について、指定された図形を回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。 (1) $y = x^2$と$y = 3x$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させる。 (2) $x = -y^2 + 6y - 8$と$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させる。

1. 問題の内容

次の2つの問題について、指定された図形を回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。

(1) $y = x^2$と$y = 3x$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させる。

(2) $x = -y^2 + 6y - 8$と$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させる。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2$と$y = 3x$の交点を求めます。

$x^2 = 3x$を解くと、$x^2 - 3x = 0$より、$x(x - 3) = 0$なので、$x = 0, 3$。

したがって、交点の座標は$(0, 0), (3, 9)$。

$0 \le x \le 3$の範囲で、$3x \ge x^2$なので、回転体の体積$V_1$は、

$$V_1 = \pi \int_0^3 (3x)^2 - (x^2)^2 dx = \pi \int_0^3 9x^2 - x^4 dx = \pi \left[ 3x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^3 = \pi \left( 3(3^3) - \frac{1}{5}(3^5) \right) = \pi \left( 81 - \frac{243}{5} \right) = \pi \left( \frac{405 - 243}{5} \right) = \frac{162}{5}\pi$$

(2) $x = -y^2 + 6y - 8$と$y$軸($x=0$)の交点を求めます。

$-y^2 + 6y - 8 = 0$を解くと、$y^2 - 6y + 8 = 0$より、$(y - 2)(y - 4) = 0$なので、$y = 2, 4$。

$x = -y^2 + 6y - 8 = -(y^2 - 6y) - 8 = -(y^2 - 6y + 9) + 9 - 8 = -(y - 3)^2 + 1$

したがって、$x \ge 0$となるのは、$2 \le y \le 4$のとき。

回転体の体積$V_2$は、

$$V_2 = \pi \int_2^4 (-y^2 + 6y - 8)^2 dy$$

ここで、$x = -y^2+6y-8 = -(y-3)^2+1$なので、

$$V_2 = \pi \int_2^4 (-(y-3)^2+1)^2 dy = \pi \int_2^4 (y-3)^4 - 2(y-3)^2 + 1 dy$$

$u = y - 3$とすると、$du = dy$。

$y=2$のとき$u = -1$、$y = 4$のとき$u = 1$。

$$V_2 = \pi \int_{-1}^1 u^4 - 2u^2 + 1 du = \pi \left[ \frac{1}{5}u^5 - \frac{2}{3}u^3 + u \right]_{-1}^1 = \pi \left[ \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - 1 \right) \right] = \pi \left( \frac{2}{5} - \frac{4}{3} + 2 \right) = \pi \left( \frac{6 - 20 + 30}{15} \right) = \frac{16}{15}\pi$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{162}{5}\pi$

(2) $\frac{16}{15}\pi$