次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} (e^x - ex)^2 dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^x - ex)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(e^x - ex)^2 = e^{2x} - 2e^{x+1}x + e^2x^2$

次に、各項を積分します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$\int x e^x dx = xe^x - e^x + C$ (部分積分)

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (e^{2x} - 2e^{x+1}x + e^2x^2) dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e\int x e^x dx + e^2 \int x^2 dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e(xe^x - e^x) + \frac{e^2}{3}x^3 + C$

$= \frac{1}{2}e^{2x} - 2exe^x + 2ee^x + \frac{e^2}{3}x^3 + C$

積分範囲は0から1なので、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^x - ex)^2 dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x} - 2xe^{x+1} + 2e^{x+1} + \frac{e^2}{3}x^3 \right]_0^1$

$= \left(\frac{1}{2}e^2 - 2e^2 + 2e^2 + \frac{e^2}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 0 + 2e + 0 \right)$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^2 - \frac{1}{2} - 2e$

$= \frac{5}{6}e^2 - 2e - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}e^2 - 2e - \frac{1}{2}$