$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ を三角関数の合成を用いて $y = r \sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3} \right)$

次に、与えられた範囲 $0 \le x \le \pi$ から $x + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求めます。

$0 + \frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y$ は最大値を取り、その値は $2 \sin \left(\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 1 = 2$ です。

これは範囲 $\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ に含まれます。

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$\sin \left(\frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$y = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\sqrt{3}$ です。

$x + \frac{\pi}{3} = \pi$ のとき、$\sin(\pi) = 0$ なので $y = 2 \sin(\pi) = 0$ です。

$y$ の最小値は、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ の範囲で $\sin \left(x + \frac{\pi}{3} \right)$ が最小値をとるときに発生します。$\sin \left(x + \frac{\pi}{3} \right)$ の最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$y$ の最小値は $2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$ です。これは、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$、つまり $x = \pi$ のときです。

3. 最終的な答え

最大値：$2$

最小値：$-\sqrt{3}$