数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ の漸化式を変形します。

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となります。

これは等比数列なので、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$ と表せます。

$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ なので、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となります。

したがって、$a_n = b_n - 1 = 2^n - 1$ となります。

次に、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

$a_n = 2^n - 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (2^n - 1)$ を計算します。

$n$ が大きくなるにつれて、$2^n$ は無限大に発散します。

したがって、$\lim_{n \to \infty} (2^n - 1) = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\infty$