与えられた無限等比級数が収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその和を求める。問題は4つあり、それぞれ初項と公比が与えられているか、または級数の具体的な形が与えられている。 (1) 初項 $1$, 公比 $\frac{1}{2}$ (2) 初項 $\sqrt{2}$, 公比 $-\sqrt{2}$ (3) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots$ (4) $(\sqrt{2}+1) + 1 + (\sqrt{2}-1) + \dots$

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数が収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその和を求める。問題は4つあり、それぞれ初項と公比が与えられているか、または級数の具体的な形が与えられている。

(1) 初項 $1$, 公比 $\frac{1}{2}$

(2) 初項 $\sqrt{2}$, 公比 $-\sqrt{2}$

(3) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots$

(4) $(\sqrt{2}+1) + 1 + (\sqrt{2}-1) + \dots$

2. 解き方の手順

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \dots$ が収束するための条件は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことである。このとき、級数の和 $S$ は $S = \frac{a}{1-r}$ で与えられる。

(1) 初項 $a=1$, 公比 $r=\frac{1}{2}$ なので、$-1 < \frac{1}{2} < 1$ を満たすため、収束する。

和 $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

(2) 初項 $a=\sqrt{2}$, 公比 $r=-\sqrt{2}$ なので、$r < -1$ であるから、発散する。

(3) この級数は初項 $a=1$, 公比 $r=-\frac{1}{3}$ の無限等比級数である。$-1 < -\frac{1}{3} < 1$ を満たすため、収束する。

和 $S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

(4) 初項 $a = \sqrt{2}+1$, 公比 $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$ である。

$-1 < \sqrt{2}-1 < 1$ を満たすため、収束する。

和 $S = \frac{\sqrt{2}+1}{1 - (\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}+1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + 2 + 2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{3\sqrt{2}+4}{2} = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $2$

(2) 発散する

(3) 収束し、和は $\frac{3}{4}$

(4) 収束し、和は $2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$