定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分をそれぞれの項に分けます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$$

それぞれの積分を計算します。

$\int \sin 2x dx$ について、 $u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int \sin 2x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$$

よって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cos 0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

次に、$\int \tan x dx$ を計算します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$$

$v = \cos x$ と置換すると、$dv = -\sin x dx$ となり、$-\sin x dx = dv$ です。

$$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-dv}{v} = -\int \frac{1}{v} dv = -\ln |v| + C = -\ln |\cos x| + C$$

よって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \left[-\ln |\cos x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln \left|\cos \frac{\pi}{4}\right| - (-\ln |\cos 0|) = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$ より、$-\ln \frac{\sqrt{2}}{2} = -\ln 2^{-\frac{1}{2}} = - \left(-\frac{1}{2} \ln 2\right) = \frac{1}{2} \ln 2$

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \tan x) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} (1 - \ln 2)$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (1 - \ln 2)$