定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

被積分関数 $\frac{1}{1+t^2}$ は $\arctan(t)$ の導関数であるという知識を利用します。

まず、不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{1+t^2} dt = \arctan(t) + C$

次に、定積分の定義に従い、積分区間の端における $\arctan(t)$ の値を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt = \arctan(1) - \arctan(0)$

$\arctan(1)$ は、$\tan(\theta) = 1$ となる角度 $\theta$ です。 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で、 $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

$\arctan(0)$ は、$\tan(\theta) = 0$ となる角度 $\theta$ です。 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で、 $\theta = 0$ です。

したがって、

$\arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$