数列 $\{a_n\}$ が $\sum_{k=0}^n a_k = \frac{1}{n}$ (ただし $n > 0$) を満たすとき、$\sum_{k=0}^\infty a_k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $\sum_{k=0}^n a_k = \frac{1}{n}$ (ただし $n > 0$) を満たすとき、$\sum_{k=0}^\infty a_k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=0}^n a_k = \frac{1}{n}$ が与えられています。無限級数の和 $\sum_{k=0}^\infty a_k$ を求めるためには、部分和の極限を考える必要があります。

しかし、与えられた式は $n > 0$ の場合にしか定義されていません。したがって、数列の最初の項 $a_0$ は直接求めることができません。

そこで、$S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ とおきます。問題文より、$S_n = \frac{1}{n}$ です。

$n \geq 1$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ となります。よって、

$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} = \frac{n-1 - n}{n(n-1)} = \frac{-1}{n(n-1)}$

となります。

次に、$a_0$ を求める必要があります。

$S_1 = \sum_{k=0}^1 a_k = a_0 + a_1 = \frac{1}{1} = 1$ です。

$a_1 = \frac{-1}{1(1-1)}$ となりますが、これは定義できません。

$a_0$ が与えられていないので、$n \geq 1$ の場合を考えるしかありません。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{-1}{k(k-1)} = - \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = - (\frac{1}{0} - \frac{1}{1} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})$

$= -(\frac{1}{0} - \frac{1}{n})$

これは発散します。

しかし、問題文は $n>0$ なので、$n=0$ は定義されていません。よって、

$\sum_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

3. 最終的な答え

0